А. Шило родился в 1955 году в Белгороде. С восьми лет начал заниматься музыкой. Первые годы обучался по классу виолончели, а с 16 лет стал осваивать контрабасовое исполнительское искусство под руководством Е. И. Левинзона.
Своё профессиональное образование А. Шило продолжил и завершил в Ленинградской консерватории (1974-1979), пройдя школу профессора М. М. Курбатова.
Ещё студентом консерватории А. Шило приступил к самостоятельной исполнительской деятельности. Её начало в 1975 году отметила работа в оркестре ленинградского академического Малого театра оперы и балета (ныне имени М. П. Мусоргского).
С конца 70-х годов творческая жизнь музыканта прочно связана с Ленинградской филармонией. В 1979 году он принят в Симфонический оркестр, возглавляемый Александром Дмитриевым, а в 1989 году, успешно выдержав конкурс, поступает в Заслуженный коллектив Республики академический симфонический оркестр Ленинградской филармонии под руководством Юрия Темирканова.
В настоящее время Александр Шило является помощником концертмейстера группы контрабасов этого прославленного коллектива.
Победа на Всесоюзном конкурсе контрабасистов (I премия, 1988, Хмельницкий) открыла музыканту широкие возможности для артистической карьеры. Уже более чем 20 лет имя А. Шило регулярно появляется на концертной афише Санкт-Петербурга. Неоднократно А. Шило гастролировал в Москве и Вильнюсе, а также в Японии, где проводил мастер-классы.
Серьёзное внимание А. Шило уделяет и педагогической деятельности, начатой им в 1990 году в училище им. Н. А. Римского-Корсакова. С 1992 года ведёт класс контрабаса в Санкт-Петербургской консерватории. Многие его воспитанники работают сегодня в лучших оркестровых коллективах города.
С 1997 года А. Шило ежегодно принимает участие в Международном музыкальном фестивале в городе Сага (Япония), в рамках которого выступает с сольными концертами и проводит мастер-классы. В 1999 году был приглашен на Международный фестиваль г. Охрид (Македония). Проводил мастер-классы в Польше (2000 г.), Балтиморе (США, 2002 г.), Сан-Пауло (Бразилия, 2002 г.)
Александр Алексеевич Шило является организатором Второго (2007 г.) и Третьего (2009 г.) Международных конкурсов контрабасистов им. Сергея Кусевицкого.